El padre de Gustav Kirchhoff fue Friedrich Kirchhoff, un abogado de derecho en Königsberg que tenía un alto sentido del deber hacia el Estado prusiano. Su madre fue una mujer llamada Johanna Henriettte Wittke. La familia era parte de la floreciente comunidad intelectual de Königsberg, y Gustav, el hijo más capaz de los Kirchhoff, fue criado con la creencia de que el servicio a Prusia era el único camino abierto para él. En ese tiempo los profesores universitarios eran también funcionarios públicos, así que los padres de Gustav creyeron que ser un profesor universitario representaba la posición adecuada donde alguien con altas habilidades académicas podía servir a Prusia.

Dadas las habilidades académicas de Gustav en la escuela, su futura carrera continuó de forma natural. Kirchhoff fue educado en Königsberg, donde ingresó en la Universidad Albertus que había sido fundada en 1544 por Albert, el primer duque de Prusia. Franz Neumann y Jacobi habían instaurado conjuntamente un seminario de físico-matemáticas para introducir a sus alumnos a los métodos de investigación. Kirchhoff asistió a dicho seminario de 1843 a 1846. Sin embargo, 1843 fue el año en que Jacobi llegó a estar indispuesto, y fue Neumann quien influenció a Kirchhoff de forma muy positiva. Los intereses de Neumann estaban en un principio enfocados en físico matemáticas, pero en el tiempo en que Kirchoff empezó a estudiar en Königsberg, Neumann volvió sus intereses hacia la inducción eléctrica. De hecho Neumann publicó el primero de sus dos estudios especializados en inducción en 1845, mientras Kirchhoff estudiaba con él. Kirchhoff fue instruido en matemáticas en la Universidad de Königsberg por Friedrich Jules Richelot. Fue mientras estaba estudiando con Neumann que Kirchhoff hizo su primera contribución sobresaliente en investigación relacionada con las corrientes eléctricas.

En 1847, Kirchhoff se graduó en la Universidad de Königsberg y se mudó a Berlín en un momento en el que la situación estaba llena de tensiones, principalmente debido a la pobreza de condiciones en la Confederación Alemana. El desempleo y las malas cosechas, entre otras cosas provocaron disturbios, y Luis Felipe I de Francia fue destronado por una sublevación en París en febrero de 1848, causando grandes revoluciones en varios estados alemanes y conflictos en Berlín. Los sentimientos socialistas y [[Republicanismo republicanos]] ponían en peligro la monarquía, pero Kirchhoff gozaba de una posición privilegiada y no fue muy afectado por los acontecimientos a su alrededor, de modo que siguió adelante con su carrera.

 

Con Clara, su primera esposa, tuvo tres hijos y dos hijas, que crio solo al morir Clara en 1869, labor que se le dificultó con una discapacidad que le obligó a pasar gran parte de su vida en muletas o en silla de ruedas. En 1872 se casó con Luise Brömmel, originaria de Goslar, en Heidelberg, lugar en el que permaneció a pesar de recibir ofertas de otras universidades.

A medida que su salud empeoraba, le resultaba más difícil practicar la experimentación, y por ello en 1875, cuando le fue ofrecida la cátedra de físico matemáticas en Berlín, la aceptó puesto que le permitía continuar haciendo contribuciones a la enseñanza y la investigación teórica sin que afectara su precaria salud. Su tratado mejor conocido, publicado posteriormente a que dejó la cátedra en Berlín, es su obra maestra de cuatro volúmenes Vorlesungen über mathematische Physik (1876-1894).